Как решать судоку?
Судоку — это квадратное поле, разделенное на сетку из девяти крупных квадратов.
Каждый крупный квадрат делится ещё на девять мелких.
Изначально в головоломке некоторые мелкие квадраты заполнены цифрами от одного до девяти.
Чем сложнее судоку, тем меньше в нём присутствует цифр в самом начале.
ПРАВИЛА РЕШЕНИЯ СУДОКУ
Расставьте цифры от 1 до 9 в клетки таким образом, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом выделенном квадрате 3×3 эти числа встречались только один раз.
СЛОЖНОСТЬ СУДОКУ
Сложность судоку обычно определяется количеством изначально заданных цифр и сложностью методов, необходимых для его решения.
Самые простые судоку решаются дедуктивным методом: всегда можно найти хотя бы одну клетку, в которую подходит только одно число.
Минимальное количество изначально заполненных ячеек равняется 17. При меньшем количестве подсказок решение невозможно.
Правильно составленная головоломка имеет единственное решение.
Минимальное количество изначально заполненных ячеек равняется 17. При меньшем количестве подсказок решение невозможно.
Правильно составленная головоломка имеет единственное решение.
Содержание
- 1. Советы по решению судоку
- 2. Простые методы решения судоку
- 3. Продвинутые методы решения судоку
- 4. Сложные методы решения судоку
- 4.1. X-крыло
- 4.2. Y-крыло
- 4.3. XYZ-крыло
- 4.4. WXYZ-крыло
- 4.5. Удалённые пары
- 4.6. Простое закрашивание
- 4.7. XY-цепочки
- 4.8. Стратегия «меч-рыба»
- 4.9. Стратегия «медуза»
- 4.10. Устранение прямоугольника
- 4.11. Избегаемые прямоугольники
- 4.12. Уникальные прямоугольники
- 4.13. Эквивалентные множества
- 4.14. Метод проб и ошибок
Советы по решению судоку
1
Поймите, как устроена головоломка. Вам нужно анализировать пересечения строк, столбцов и квадратных блоков 3×3 для поиска однозначного расположения той или иной цифры.
Любая цифра в судоку принадлежит к одной строке, одному столбцу и одному блоку. Следовательно, все цифры в этих строке, столбце и блоке оказывают влияние на выбор цифры для этой ячейки.
2
Старайтесь работать с группами цифр.
Если вы заметили, что каких-то определенных цифр много на поле, то именно с них и стоит начать решение.
Проверьте, нет ли строк и столбцов, в которых отсутствует всего одна цифра. Просмотрите все большие квадраты. Также имеет смысл анализировать ряды и колонки, составленные из блоков 3×3.
3
Начинайте решать судоку с простых вариантов, постепенно повышая сложность.
Пробуйте применять разные методики, и через некоторое время вы уверенно сможете решать даже самые сложные судоку.
4
Не пытайтесь вписывать наугад какое-либо число в сетку, так как всегда можно найти логическое решение.
Если вы зашли в тупик, просмотрите сетку еще раз и проверьте, не пропустили ли вы что-нибудь.
Не сосредотачивайтесь слишком долго на одном месте. Возможно, в другой части сетки есть более очевидное решение.
5
Перед тем, как вписать цифру, дважды всё перепроверьте. Будет обидно, если досадная ошибка приведёт вас в дальнейшем к цепочке неверных ответов.
6
Решайте головоломку простым карандашом, а не ручкой. Даже опытные игроки могут допускать ошибки, и использование ластика позволяет их исправить.
7
Постоянно перепроверяйте ячейки по мере решения судоку. Возвращайтесь к тем ячейкам, которые вы не смогли заполнить ранее и попробуйте решить их снова.
Возможно, уже найденные вами цифры добавили новой информации к ранее неразрешимой ситуации.
Простые методы решения судоку
Решение любого судоку сводится к простому перебору вариантов и требует анализа и логического мышления.
Лёгкие судоку часто можно решить в уме с помощью логических рассуждений.
Для решения более сложных судоку может потребоваться делать дополнительные пометки в клетках или на полях, указывая возможные цифры-кандидаты.
ЕДИНСТВЕННОЕ МЕСТО ДЛЯ ЦИФРЫ
Цель этого метода — определить единственную возможную позицию для цифры.
Анализируйте цифры в строках, в столбцах и в блоках 3×3 клетки.
Например, рассмотрим такую сетку судоку.
Например, рассмотрим такую сетку судоку.
Если посмотреть на выделенный синим блок, то видно, что цифра 9 не может быть в первом горизонтальном ряду и в последнем вертикальном столбце этого блока,
так как цифра 9 уже встречается в соответствующем ряду и столбце.
Стрелочками показано, что пустые клетки как бы "простреливаются" уже поставленными девятками.
А это значит, что единственная клетка, где может стоять цифра 9, выделена жёлтым цветом.
В выделенной ниже строке цифра 4 может быть расположена только в жёлтой клетке, так как остальные клетки закрываются четвёрками из столбца или блоков.
Аналогично цифра 5 может стоять только в одном месте в выделенном столбце.
МЕТОД "ПРОСТРЕЛА"
Самым простым способом найти место для цифры является мысленное "простреливание" рядов и столбцов.
Для этого стоит выбирать цифры, которые чаще всего встречаются в сетке.
Например, выбрав цифру 9, вычеркиваем вертикали и горизонтали, в которых эта цифра не может стоять и анализируем блоки. Жёлтым цветом отмечены единственные клетки в каждом из блоков, где может стоять девятка.
Например, выбрав цифру 9, вычеркиваем вертикали и горизонтали, в которых эта цифра не может стоять и анализируем блоки. Жёлтым цветом отмечены единственные клетки в каждом из блоков, где может стоять девятка.
Далее можно выбрать другую цифру и повторить этот метод.
Если вы нашли какое-то решение и поставили цифру в сетку, то можно вернуться к ранее выбранным цифрам и снова попробовать прострелить.
Ведь может появиться дополнительная информация.
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ
Если метод "прострела" больше не даёт результатов, то можно попробовать метод исключения.
Выберите любую пустую ячейку. Рекомендуется выбирать ячейку на пересечении строки и столбца, в которых уже расставлено много цифр. Для выбранной ячейки начинаем исключать все цифры от 1 до 9.
В показанном ниже примере в жёлтой ячейке может находиться только цифра 2, так как все остальные цифры от 1 до 9 (кроме 2) уже присутствуют в ячейках, выделенных голубым цветом.
Выберите любую пустую ячейку. Рекомендуется выбирать ячейку на пересечении строки и столбца, в которых уже расставлено много цифр. Для выбранной ячейки начинаем исключать все цифры от 1 до 9.
В показанном ниже примере в жёлтой ячейке может находиться только цифра 2, так как все остальные цифры от 1 до 9 (кроме 2) уже присутствуют в ячейках, выделенных голубым цветом.
Продвинутые методы решения судоку
Для решения более сложных головоломок может потребоваться делать дополнительные пометки.
Чаще всего в незаполненных ячейках карандашом вписываются цифры-кандидаты, которые могут быть в этих ячейках.
Затем, путём логических рассуждений, часть этих цифр стирается.
Например, возьмём произвольную сетку судоку и впишем в каждую из ячеек возможные цифры-кандидаты.
Например, возьмём произвольную сетку судоку и впишем в каждую из ячеек возможные цифры-кандидаты.
ЕДИНСТВЕННЫЙ КАНДИДАТ
Самое простое, что бросается в глаза, это ситуация, когда в клетке остаётся только один кандидат.
Так, в жёлтой клетке возможна только цифра 6. Смело вписываем её в сетку.
ОТКРЫТЫЕ ПАРЫ
Если в строке, столбце или блоке 3×3 есть только две ячейки, содержащие одну и ту же пару цифр, эти цифры можно исключить из других ячеек этой строки, столбца или блока.
В этом примере жёлтым цветом выделены две клетки, в которых присутствуют цифры 3 и 7. Если в одной ячейке будет цифра 3, то в другой автоматически будет цифра 7, и наоборот. Это значит, что 3 и 7 гарантированно будут стоять в этих клетках и больше в строке и блоке появиться не могут. Тем самым цифры, отмеченные оранжевыми кружками можно вычеркнуть из списка кандидатов.
В этом примере жёлтым цветом выделены две клетки, в которых присутствуют цифры 3 и 7. Если в одной ячейке будет цифра 3, то в другой автоматически будет цифра 7, и наоборот. Это значит, что 3 и 7 гарантированно будут стоять в этих клетках и больше в строке и блоке появиться не могут. Тем самым цифры, отмеченные оранжевыми кружками можно вычеркнуть из списка кандидатов.
Ищите открытые пары в пределах одной строки, столбца или блока.
В этом примере две открытые пары.
ОТКРЫТЫЕ ТРОЙКИ
Поиск открытых троек сложнее, поскольку не всегда предполагает наличие трёх одинаковых чисел в трёх ячейках.
Любая группа из трёх клеток в одной строке, столбце или блоке, к которых в общей сложности есть только три цифры-кандидата, будет являться "открытой тройкой".
В каждой ячейке может быть две или три цифры, но в сумме во всех трёх ячейках должно быть только три различных цифры.
В этом примере в трёх жёлтых клетках находятся цифры 3, 6 и 8. Значит, те же самые цифры в строке и в блоке можно вычеркнуть из списка кандидатов. Они отмечены оранжевыми кружками.
В этом примере в трёх жёлтых клетках находятся цифры 3, 6 и 8. Значит, те же самые цифры в строке и в блоке можно вычеркнуть из списка кандидатов. Они отмечены оранжевыми кружками.
В общем случае комбинации чисел могут быть такими:
[ABC] [ABC] [ABC] - три числа в трех ячейках.
[ABC] [ABC] [AB] - любые комбинации.
[ABC] [AB] [AB] - любые комбинации.
[AB] [AC] [BC]
[ABC] [ABC] [ABC] - три числа в трех ячейках.
[ABC] [ABC] [AB] - любые комбинации.
[ABC] [AB] [AB] - любые комбинации.
[AB] [AC] [BC]
ОТКРЫТЫЕ ЧЕТВЁРКИ
Открытые четвёрки ищутся по той же логике, что и тройки.
Вам нужно найти четыре ячейки, в которых содержатся только четыре различные цифры.
В этом примере в четырёх жёлтых клетках в пределах одного блока находятся цифры 1, 3, 8 и 9. Значит, те же самые цифры в блоке можно вычеркнуть из списка кандидатов. Они отмечены оранжевыми кружками.
В этом примере в четырёх жёлтых клетках в пределах одного блока находятся цифры 1, 3, 8 и 9. Значит, те же самые цифры в блоке можно вычеркнуть из списка кандидатов. Они отмечены оранжевыми кружками.
Открытые пятёрки искать нет смысла, так как, если вы их обнаружите, то в оставшихся клетках автоматически окажутся открытые четвёрки, тройки или двойки, которые найти гораздо проще.
СКРЫТЫЕ ПАРЫ
Поиск скрытых пар сложнее, чем открытых, поскольку нужные цифры могут быть замаскированы другими кандидатами.
В этом примере мы видим, что цифры 2 и 6 в голубых ячейках уже присутствуют в двух вертикальных столбцах. А это значит, что в верхнем блоке, отмеченном голубым цветом, они могут находиться только в двух жёлтых клетках. Остальные цифры, отмеченные оранжевыми кружками можно вычеркнуть из списка кандидатов.
В этом примере мы видим, что цифры 2 и 6 в голубых ячейках уже присутствуют в двух вертикальных столбцах. А это значит, что в верхнем блоке, отмеченном голубым цветом, они могут находиться только в двух жёлтых клетках. Остальные цифры, отмеченные оранжевыми кружками можно вычеркнуть из списка кандидатов.
СКРЫТЫЕ ТРОЙКИ
Скрытая тройка состоит из трёх пар чисел, расположенных в одной строке, столбце или блоке.
Так же, как и в случае с открытыми тройками, в каждой из трёх ячеек не обязательно должно быть по три числа [ABC], [ABC], [ABC].
Например, может быть комбинация [AB], [AC], [BC]. Однако эти цифры могут быть замаскированы другими цифрами-кандидатами.
В примере ниже цифры 1, 3 и 9 в синих клетках не могут стоять в первом столбце выделенного синим цветом блока. Значит, они займут три оставшиеся клетки, выделенные жёлтым цветом. Тем самым можно исключить остальных кандидатов, выделенных оранжевыми кружками.
В примере ниже цифры 1, 3 и 9 в синих клетках не могут стоять в первом столбце выделенного синим цветом блока. Значит, они займут три оставшиеся клетки, выделенные жёлтым цветом. Тем самым можно исключить остальных кандидатов, выделенных оранжевыми кружками.
СКРЫТЫЕ ЧЕТВЁРКИ
Скрытые четвёрки ищутся по тому же принципу.
В этом примере цифры 3, 4, 6 и 8 могут находиться только в жёлтых клетках блока. А остальные цифры-кандидаты, выделенные оранжевыми кружками, можно вычеркнуть.
В этом примере цифры 3, 4, 6 и 8 могут находиться только в жёлтых клетках блока. А остальные цифры-кандидаты, выделенные оранжевыми кружками, можно вычеркнуть.
УКАЗЫВАЮЩИЕ ПАРЫ
Если в блоке 3×3 цифра может находиться только в двух ячейках одной строки или одного столбца, то эту цифру можно исключить из других ячеек этой строки или столбца за пределами блока.
Например, в центральном блоке цифра 5 может находиться только в одной из жёлтых ячеек. Значит, в других ячейках этого столбца она уже не может появиться. Удаляем цифры-кандидаты, отмеченные оранжевыми кружками.
Например, в центральном блоке цифра 5 может находиться только в одной из жёлтых ячеек. Значит, в других ячейках этого столбца она уже не может появиться. Удаляем цифры-кандидаты, отмеченные оранжевыми кружками.
УКАЗЫВАЮЩИЕ ТРОЙКИ
Это же правило работает и с тройками чисел.
В примере ниже можно удалить цифры 1 в оранжевых кружках, так как они могут стоять только в трёх вертикальных ячейках верхнего блока.
В примере ниже можно удалить цифры 1 в оранжевых кружках, так как они могут стоять только в трёх вертикальных ячейках верхнего блока.
Стратегия указывающих пар и троек работает также на строках и на столбцах.
В примере ниже, в строке, выделенной синим цветом, цифра 9 может быть только в одной из двух жёлтых клеток. Это значит, что в последнем блоке 3×3 в других клетках она не может появиться. Цифры, отмеченные оранжевыми кружками, можно удалить.
В примере ниже, в строке, выделенной синим цветом, цифра 9 может быть только в одной из двух жёлтых клеток. Это значит, что в последнем блоке 3×3 в других клетках она не может появиться. Цифры, отмеченные оранжевыми кружками, можно удалить.
Сложные методы решения судоку
X-КРЫЛО
Эта стратегия заключается в поиске двух строк, в которых имеются только две цифры-кандидата и которые находятся в одних и тех же столбцах.
Если такая группа цифр найдена, то все такие же цифры-кандидаты из столбцов можно удалить.
Например, в двух строках, отмеченных синим цветом, цифра 7 может находиться только в жёлтых ячейках. Эти ячейки находятся в одних и тех же столбцах и образуют пересечение в форме буквы X.
Если цифра 7 будет находиться в одной из ячеек первой строки, то вторая цифра 7 окажется в диагонально противоположной ячейке второй строки, и наоборот.
То есть в каждом из столбцов эта цифра обязательно появится, то остальные цифры-кандидаты, выделенные оранжевыми кружками, можно вычеркнуть.
Например, в двух строках, отмеченных синим цветом, цифра 7 может находиться только в жёлтых ячейках. Эти ячейки находятся в одних и тех же столбцах и образуют пересечение в форме буквы X.
Если цифра 7 будет находиться в одной из ячеек первой строки, то вторая цифра 7 окажется в диагонально противоположной ячейке второй строки, и наоборот.
То есть в каждом из столбцов эта цифра обязательно появится, то остальные цифры-кандидаты, выделенные оранжевыми кружками, можно вычеркнуть.
Правило также верно и для двух столбцов с двумя общими строками.
В этом примере судоку существует два X-пересечения, образованных цифрой 3. Одно найдено по столбцам, а второе по строкам. Цифры, отмеченные оранжевыми кружками, можно удалить из пересекающихся столбцов и строк.
В этом примере судоку существует два X-пересечения, образованных цифрой 3. Одно найдено по столбцам, а второе по строкам. Цифры, отмеченные оранжевыми кружками, можно удалить из пересекающихся столбцов и строк.
Правило можно распространить и на блоки.
В примере ниже цифры 2 в столбцах, выделенных синим цветом, могут быть только в двух клетках, которые принадлежат также только двум блокам 3×3. Значит, другие цифры-кандидаты из этих блоков можно удалить.
В примере ниже цифры 2 в столбцах, выделенных синим цветом, могут быть только в двух клетках, которые принадлежат также только двум блокам 3×3. Значит, другие цифры-кандидаты из этих блоков можно удалить.
Y-КРЫЛО
Стратегия Y-крыло похожа на X-крыло, но цифры-кандидаты расположены в трёх углах, а не в четырёх.
В общем случае нам нужно искать пары цифр-кандидатов AB, AС и BC.
AB - это ключевая пара, из которой должны быть "видны" пары AС и BC.
Если решением ключевой клетки является A, то C появится в ячейке снизу.
А если решением ключевой клетки является B, то C появится в ячейке справа.
В любом из этих случаев цифра C не может появиться в клетке на пересечении. Удаляем её из списка кандидатов.
В общем случае нам нужно искать пары цифр-кандидатов AB, AС и BC.
AB - это ключевая пара, из которой должны быть "видны" пары AС и BC.
Если решением ключевой клетки является A, то C появится в ячейке снизу.
А если решением ключевой клетки является B, то C появится в ячейке справа.
В любом из этих случаев цифра C не может появиться в клетке на пересечении. Удаляем её из списка кандидатов.
Если пары AB, AС и BC расположены в соседних блоках, то можно удалить намного больше цифр C.
В примере конкретного судоку цифры-кандидаты 4 и 7 образуют ключевую пару.
Из них "видны" пары (2,4) и (2,7).
Все цифры 2, отмеченные оранжевыми кружками, не могут появиться и их можно удалить.
XYZ-КРЫЛО
XYZ-крыло объединяет три ячейки, которые содержат только три разных числа.
X считается ключевым общим элементом. Вершина крыла должна содержать все три числа XYZ. А две другие ячейки должны содержать пары XY, XZ и должны быть "видны" из вершины крыла.
Одна пара должна находиться в текущем блоке 3×3, а вторая в текущей строке или столбце, но за пределами текущего блока.
Благодаря такой связке число X обязательно появится в одной из трёх ячеек, а все остальные числа-кандидаты X на пересечении блоков могут быть удалены.
X считается ключевым общим элементом. Вершина крыла должна содержать все три числа XYZ. А две другие ячейки должны содержать пары XY, XZ и должны быть "видны" из вершины крыла.
Одна пара должна находиться в текущем блоке 3×3, а вторая в текущей строке или столбце, но за пределами текущего блока.
Благодаря такой связке число X обязательно появится в одной из трёх ячеек, а все остальные числа-кандидаты X на пересечении блоков могут быть удалены.
Вот пример использования XYZ-крыла на практике.
Жёлтая ячейка с цифрами 2, 8 и 9 является вершиной крыла. Две другие жёлтые ячейки концами крыльев.
Цифры-кандидаты, отмеченные оранжевыми кружками, в соответствии с правилом, можно удалить.
Жёлтая ячейка с цифрами 2, 8 и 9 является вершиной крыла. Две другие жёлтые ячейки концами крыльев.
Цифры-кандидаты, отмеченные оранжевыми кружками, в соответствии с правилом, можно удалить.
Ещё один пример, где двойное применение XYZ-крыла позволяет открыть цифру в сетке.
Крыло 3, 4 и 9 позволяет убрать 4 из списка кандидатов.
Крыло 3, 4 и 9 позволяет убрать 4 из списка кандидатов.
И сразу появляется ещё одно крыло с той же вершиной, но с другими парами. Это позволяет нам убрать цифру 3 и найти одиночную 4.
WXYZ-КРЫЛО
WXYZ-крыло - это расширение XYZ-крыла, в котором используются четыре ячейки вместо трёх.
X считается ключевым общим элементом. Вершина крыла должна содержать все четыре числа WXYZ. А три другие ячейки должны содержать пары XY, XZ, XW и должны быть "видны" из вершины крыла.
Одна пара должна находиться в текущем блоке 3×3, а две другие в текущей строке или столбце, но за пределами текущего блока.
Благодаря такой связке число X обязательно появится в одной из четырёх ячеек, а все остальные числа-кандидаты X на пересечении блоков могут быть удалены.
X считается ключевым общим элементом. Вершина крыла должна содержать все четыре числа WXYZ. А три другие ячейки должны содержать пары XY, XZ, XW и должны быть "видны" из вершины крыла.
Одна пара должна находиться в текущем блоке 3×3, а две другие в текущей строке или столбце, но за пределами текущего блока.
Благодаря такой связке число X обязательно появится в одной из четырёх ячеек, а все остальные числа-кандидаты X на пересечении блоков могут быть удалены.
Вот пример использования WXYZ-крыла на практике.
Жёлтая ячейка с цифрами 5, 6, 7 и 8 является вершиной крыла. Три другие жёлтые ячейки концами крыльев.
Цифра 5, отмеченная оранжевым кружком, в соответствии с правилом, может быть удалена из списка кандидатов.
Жёлтая ячейка с цифрами 5, 6, 7 и 8 является вершиной крыла. Три другие жёлтые ячейки концами крыльев.
Цифра 5, отмеченная оранжевым кружком, в соответствии с правилом, может быть удалена из списка кандидатов.
УДАЛЁННЫЕ ПАРЫ
Рассмотрим суть этого метода сразу на примере.
Ищем в сетке две ячейки, в которых находится одна и та же пара чисел.
Эти числа не должны "видеть" друг друга, как в методе открытых пар, но должны находиться в пределах одного ряда или колонки сцепленных блоков 3×3.
В нашем примере это цифры 4 и 7, расположенные в жёлтых клетках.
Выделим также розовым цветом те клетки, которые видны из обеих жёлтых ячеек. Они образуют две полоски по три клетки.
И отметим голубым те клетки, которые не видны из этих клеток в пределах сцепленных блоков.
Правило гласит: если в голубых ячейках есть только один из кандидатов, найденных в жёлтых ячейках, то этот кандидат может быть исключён из всех розовых ячеек.
В голубых ячейках есть только цифра 7, и не может быть 4, поэтому удаляем все цифры 7, отмеченные оранжевыми кружками.
Ищем в сетке две ячейки, в которых находится одна и та же пара чисел.
Эти числа не должны "видеть" друг друга, как в методе открытых пар, но должны находиться в пределах одного ряда или колонки сцепленных блоков 3×3.
В нашем примере это цифры 4 и 7, расположенные в жёлтых клетках.
Выделим также розовым цветом те клетки, которые видны из обеих жёлтых ячеек. Они образуют две полоски по три клетки.
И отметим голубым те клетки, которые не видны из этих клеток в пределах сцепленных блоков.
Правило гласит: если в голубых ячейках есть только один из кандидатов, найденных в жёлтых ячейках, то этот кандидат может быть исключён из всех розовых ячеек.
В голубых ячейках есть только цифра 7, и не может быть 4, поэтому удаляем все цифры 7, отмеченные оранжевыми кружками.
Чтобы понять это правило, пройдитесь в обратную сторону. Если мы поставим цифру 7 в любую из розовых ячеек, то в обеих жёлтых ячейках будет цифра 4.
И это значит, что четвёрка должна быть и в голубых ячейках, но её там нет среди кандидатов. Получается логическое противоречие.
ПРОСТОЕ ЗАКРАШИВАНИЕ
Метод простого закрашивания целесообразно применять, когда вы видите в сетке много цифр-кандидатов, которые встречаются в строке, столбце или блоке лишь дважды.
В качестве примера возьмём сетку и выделим жёлтым все клетки, где может находиться цифра 9.
Обратим внимание на клетку, выделенную синим цветом. В строке, столбце и в блоке у неё есть лишь по одной парной клетке с таким же кандидатом. Возьмём её в качестве ключевой. Если в ней стоит цифра 9, то в парных клетках её не будет. А если не стоит, то девятка обязательно появится в парных клетках.
В качестве примера возьмём сетку и выделим жёлтым все клетки, где может находиться цифра 9.
Обратим внимание на клетку, выделенную синим цветом. В строке, столбце и в блоке у неё есть лишь по одной парной клетке с таким же кандидатом. Возьмём её в качестве ключевой. Если в ней стоит цифра 9, то в парных клетках её не будет. А если не стоит, то девятка обязательно появится в парных клетках.
Эту цепочку можно продолжить на остальных кандидатов.
Цепочка — это ряд переходов от одного кандидата к другому по очень простым правилам. Кандидат может стоять в клетке или не стоять.
Обозначим эти состояния цветами ДА и НЕТ.
Рассмотрим оба этих состояния и начнём раскрашивать сетку. Пусть сначала цифра 9 стоит в ключевой клетке. А в парных клетках она тогда стоять не может.
Рассмотрим оба этих состояния и начнём раскрашивать сетку. Пусть сначала цифра 9 стоит в ключевой клетке. А в парных клетках она тогда стоять не может.
Продолжаем по цепочке раскрашивать сетку.
Запомним этот вариант. И рассмотрим случай, когда цифра 9 в ключевой клетке не стоит.
Пробежав по всем цепочкам, получаем следующую раскраску.
Пробежав по всем цепочкам, получаем следующую раскраску.
Теперь обратим внимание на клетки, выделенные розовым цветом. И в той, и в другой раскраске они оказались красными.
А это значит, что в любом случае цифра 9 в них появиться не может.
Обе девятки, выделенные оранжевыми кружками, можно удалить из списка кандидатов.
В общем случае, применяя этот метод, вы можете взять любую цифру из сетки в качестве основной и построить для неё две цепочки раскрасок.
Затем, анализируя цвета цепочек, вы можете найти закономерности и исключения для остальных цифр-кандидатов.
XY-ЦЕПОЧКИ
XY-цепочки — это последовательность связанных друг с другом групп клеток, в каждой из которых есть только две цифры-кандидата.
Простейший пример цепочки: AB-BC-CD-DA.
Она будет иметь два варианта решения: A-B-C-D или B-C-D-A.
И в том, и в другом случае на концах цепочки появляется число A. Если концы цепочки расположены в одной линии или в одном блоке, то другие цифры-кандидаты A из этого блока можно удалить.
В приведённом ниже примере найдена цепочка (1,6)-(6,4)-(4,7)-(7,1).
При любом из её решений цифра 1 появится в одной из розовых клеток. Это значит, что другие цифры-кандидаты, отмеченные оранжевым кружком, можно удалить.
Простейший пример цепочки: AB-BC-CD-DA.
Она будет иметь два варианта решения: A-B-C-D или B-C-D-A.
И в том, и в другом случае на концах цепочки появляется число A. Если концы цепочки расположены в одной линии или в одном блоке, то другие цифры-кандидаты A из этого блока можно удалить.
В приведённом ниже примере найдена цепочка (1,6)-(6,4)-(4,7)-(7,1).
При любом из её решений цифра 1 появится в одной из розовых клеток. Это значит, что другие цифры-кандидаты, отмеченные оранжевым кружком, можно удалить.
Эту же цепочку мы можем повернуть несколько раз, чтобы убрать другие цифры.
Например, цепочка (6,1)-(1,7)-(7,4)-(4,6) позволяет убрать цифру 6, выделенную оранжевым кружком.
Например, цепочка (6,1)-(1,7)-(7,4)-(4,6) позволяет убрать цифру 6, выделенную оранжевым кружком.
СТРАТЕГИЯ «МЕЧ-РЫБА»
Стратегия «меч-рыба» расширяет стратегию «X-крыло», но заключается в поиске трёх строк,
в которых имеются только три цифры-кандидата и которые находятся в одних и тех же столбцах.
Если такая группа цифр найдена, то все цифры-кандидаты из пересекающихся столбцов можно удалить.
«Меч-рыбой» называется узор из девяти ячеек. В конечном итоге три числа займут каждую из строк, а кандидатов, отмеченных оранжевыми кружками, можно удалить.
Стратегия применима как к строкам, так и к столбцам.
Если такая группа цифр найдена, то все цифры-кандидаты из пересекающихся столбцов можно удалить.
«Меч-рыбой» называется узор из девяти ячеек. В конечном итоге три числа займут каждую из строк, а кандидатов, отмеченных оранжевыми кружками, можно удалить.
Стратегия применима как к строкам, так и к столбцам.
Вот пример использования стратегии.
В первом, четвёртом и седьмом столбцах цифра 3 может находиться только первых трёх ячейках.
Эти ячейки, выделенные жёлтым цветом, образуют шаблон «меч-рыбы».
Остальные цифры 3 из первых трёх строк можно удалить из списка кандидатов.
В первом, четвёртом и седьмом столбцах цифра 3 может находиться только первых трёх ячейках.
Эти ячейки, выделенные жёлтым цветом, образуют шаблон «меч-рыбы».
Остальные цифры 3 из первых трёх строк можно удалить из списка кандидатов.
В чистом виде шаблон 3×3 встречается не так часто, но необязательно, чтобы каждое число было во всех трёх ячейках.
Достаточно, чтобы число встречалось в каждом столбце минимум два раза.
В этом примере цифра 4 образует шаблон «меч-рыбы» в 1-й, 3-й и 6-й строках.
Цифры 4 в пересекающихся столбцах можно удалить из списка кандидатов.
Цифры 4 в пересекающихся столбцах можно удалить из списка кандидатов.
СТРАТЕГИЯ «МЕДУЗА»
Стратегия «медуза» расширяет стратегию «меч-рыбы» ещё на одну строку или столбец.
Необходимо найти четыре строки или столбца, в каждом из которых цифра-кандидат встречается в четырёх ячейках.
Необходимо найти четыре строки или столбца, в каждом из которых цифра-кандидат встречается в четырёх ячейках.
Чтобы понять, как это работает, выберите любую жёлтую ячейку в приведённом выше примере, содержащую X.
Представьте, что X — это решение, тогда все остальные X в строке и столбцах вычёркиваются.
В результате у нас остаётся шаблон «меч-рыба».
Если вы выберите любой X в «меч-рыбе», то она превратится в «X-крыло».
При любом выборе числа X все решения будут в пределах шаблона «медузы». А значит, за пределами шаблона в пересекающихся столбцах или строках цифры-кандидаты могут быть удалены.
Вот пример, где шаблон «медуза» найден в 1-й, 6-й, 7-й и 8-й строках.
Все цифры 2 из пересекающихся столбиков можно удалить. Это позволяет нам открыть цифру 6 в пятой ячейке второй строки.
Представьте, что X — это решение, тогда все остальные X в строке и столбцах вычёркиваются.
В результате у нас остаётся шаблон «меч-рыба».
Если вы выберите любой X в «меч-рыбе», то она превратится в «X-крыло».
При любом выборе числа X все решения будут в пределах шаблона «медузы». А значит, за пределами шаблона в пересекающихся столбцах или строках цифры-кандидаты могут быть удалены.
Вот пример, где шаблон «медуза» найден в 1-й, 6-й, 7-й и 8-й строках.
Все цифры 2 из пересекающихся столбиков можно удалить. Это позволяет нам открыть цифру 6 в пятой ячейке второй строки.
И ещё пример, где использование шаблона «медуза» в столбцах позволяет открыть цифру 5 в пятой ячейке седьмой строки.
УСТРАНЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Рассмотрим эту стратегию на примере.
Возьмём сетку судоку и попробуем найти строку или столбец, в котором цифра-кандидат возможна только в двух ячейках.
В нашем случае цифра 1 возможна только в двух клетках седьмой строки. Они выделены жёлтым цветом. Эти ячейки объединены связью «или-или». Цифра 1 обязательно появится там или там.
Возьмём сетку судоку и попробуем найти строку или столбец, в котором цифра-кандидат возможна только в двух ячейках.
В нашем случае цифра 1 возможна только в двух клетках седьмой строки. Они выделены жёлтым цветом. Эти ячейки объединены связью «или-или». Цифра 1 обязательно появится там или там.
От любой из жёлтых клеток попробуем найти ещё одну цифру 1, но уже в столбце.
Возьмём единицу из оранжевой клетки и обратим внимание на единицы в голубых клетках, которые находятся в последнем блоке нашего получившегося прямоугольника.
Возьмём единицу из оранжевой клетки и обратим внимание на единицы в голубых клетках, которые находятся в последнем блоке нашего получившегося прямоугольника.
Теперь допустим, что в оранжевой клетке стоит цифра 1.
Тогда в жёлтой клетке ниже она стоять не может и обязательно появится в диагонально противоположной жёлтой клетке (выделена белым кружком). В этом случае получается, что цифра 1 не может появиться ни в одной из голубых клеток.
В центральном блоке 3×3 мест для цифры 1 не остаётся, и мы получаем противоречие.
Тогда в жёлтой клетке ниже она стоять не может и обязательно появится в диагонально противоположной жёлтой клетке (выделена белым кружком). В этом случае получается, что цифра 1 не может появиться ни в одной из голубых клеток.
В центральном блоке 3×3 мест для цифры 1 не остаётся, и мы получаем противоречие.
Значит, наша первоначальная посылка была неверной, и цифры 1 в оранжевом квадрате быть не может.
Её можно исключить из списка цифр-кандидатов.
Её можно исключить из списка цифр-кандидатов.
ИЗБЕГАЕМЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Эта стратегия отличается от других, поскольку рассматривает судоку с точки зрения составителя головоломки.
Представьте ситуацию, когда в сетке остались четыре ячейки, расположенные в форме прямоугольника, и в каждой из этих ячеек остались по две цифры-кандидата.
Эта ситуация приведёт к двойному решению.
Представьте ситуацию, когда в сетке остались четыре ячейки, расположенные в форме прямоугольника, и в каждой из этих ячеек остались по две цифры-кандидата.
Эта ситуация приведёт к двойному решению.
Действительно, в этом примере мы можем поставить в диагонально противоположные углы как 4, так и 8, и оба решения будут верными.
Но по правилам судоку должно иметь только одно решение.
Значит, автор головоломки должен предусмотреть эту ситуацию и избежать такого прямоугольника.
Единственный способ добиться однозначности решения – это оставить открытую цифру-подсказку в любой из этих четырёх ячеек.
Важное условие: все четыре числа должны находиться в пределах двух блоков 3×3. Иначе, если они будут раскиданы по четырём блокам, то можно обойтись без явной подсказки, оставив, например, единственного кандидата в блоке.
Кстати, если вы в процессе решения обнаружили такую взаимозаменяемую пару, то с большой долей вероятности вы допустили ошибку, и стоит перепроверить предыдущие шаги решения.
Теперь посмотрим, как это можно использовать на практике. Пусть у нас имеется исходная сетка судоку.
Единственный способ добиться однозначности решения – это оставить открытую цифру-подсказку в любой из этих четырёх ячеек.
Важное условие: все четыре числа должны находиться в пределах двух блоков 3×3. Иначе, если они будут раскиданы по четырём блокам, то можно обойтись без явной подсказки, оставив, например, единственного кандидата в блоке.
Кстати, если вы в процессе решения обнаружили такую взаимозаменяемую пару, то с большой долей вероятности вы допустили ошибку, и стоит перепроверить предыдущие шаги решения.
Теперь посмотрим, как это можно использовать на практике. Пусть у нас имеется исходная сетка судоку.
Последовательно решая её, мы приходим к следующей ситуации.
Обратите внимание, что три цифры в жёлтых ячейках не были заданы изначально, а были вписаны в результате решения.
Они образуют избегаемый прямоугольник. И если мы вставим в оставшуюся ячейку цифру 2, то получим взаимозаменяемую пару (2,5).
Учитывая то, что решение должно быть единственным, а в последней ячейке нет подсказки от автора, значит, цифра 2 здесь находиться не может.
УНИКАЛЬНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Стратегия уникальных прямоугольников использует тот факт, что опубликованные судоку имеют только одно решение, в противном случае она может не сработать.
Стратегия является продолжением идеи избегаемых прямоугольников.
В примере ниже показаны два шаблона из четырёх ячеек.
Шаблон, отмеченный красным, состоит из чисел (2,5) и занимает два блока 3×3. Назовём его "смертельным шаблоном".
Такой шаблон в судоку с одним решением появиться не может. Ведь, поставив числа 2 и 5 в диагонали прямоугольника двумя способами, мы получим два решения. Если вы достигли такого состояния в своём решении, значит, что-то пошло не так.
Шаблон, отмеченный зелёным и состоящий из чисел (5,6), похож на смертельный шаблон, однако цифры в углах занимают четыре разных блока 3×3. Такая ситуация вполне возможна, так как перестановка чисел в разных блоках не всегда приводит к двойному решению.
В примере ниже показаны два шаблона из четырёх ячеек.
Шаблон, отмеченный красным, состоит из чисел (2,5) и занимает два блока 3×3. Назовём его "смертельным шаблоном".
Такой шаблон в судоку с одним решением появиться не может. Ведь, поставив числа 2 и 5 в диагонали прямоугольника двумя способами, мы получим два решения. Если вы достигли такого состояния в своём решении, значит, что-то пошло не так.
Шаблон, отмеченный зелёным и состоящий из чисел (5,6), похож на смертельный шаблон, однако цифры в углах занимают четыре разных блока 3×3. Такая ситуация вполне возможна, так как перестановка чисел в разных блоках не всегда приводит к двойному решению.
В примере ниже жёлтыми ячейками показан потенциальный "смертельный шаблон".
Цифры-кандидаты 8 и 9 стоят по трём сторонам прямоугольника и занимают два блока 3×3.
Они не могут появиться в четвёртой клетке, иначе мы придём к прямоугольнику, допускающему два варианта решения.
Соответственно, эти числа можно удалить из списка кандидатов.
Второй тип уникального прямоугольника показан на примере ниже.
Потенциальный "смертельный шаблон" выделен жёлтым цветом. Чтобы он не появился, цифра 7 должна быть обязательно в одной из двух жёлтых клеток нижнего ряда. А значит, в других блоках, "видимых" из этих клеток, её быть не должно. Цифры-кандидаты, отмеченные оранжевыми кружками, можно удалить.
Потенциальный "смертельный шаблон" выделен жёлтым цветом. Чтобы он не появился, цифра 7 должна быть обязательно в одной из двух жёлтых клеток нижнего ряда. А значит, в других блоках, "видимых" из этих клеток, её быть не должно. Цифры-кандидаты, отмеченные оранжевыми кружками, можно удалить.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Идея эквивалентных множеств заключается в том, что в любой сетке судоку есть наборы ячеек, которые должны содержать один и тот же набор чисел.
Ведь, по определению судоку, любая строка содержит набор чисел от 1 до 9 в определённом порядке, как и любой столбец, и каждый из блоков 3×3.
Таким образом, все они являются эквивалентными множествами.
Возьмём, например, центральную строку и центральный столбец судоку.
В них одинаковый набор чисел от 1 до 9. Если мы удалим центральную жёлтую клетку, то в красной и зеленой областях тоже окажется одинаковый набор чисел, ведь мы убрали цифру, принадлежащую обеим областям.
Возьмём, например, центральную строку и центральный столбец судоку.
В них одинаковый набор чисел от 1 до 9. Если мы удалим центральную жёлтую клетку, то в красной и зеленой областях тоже окажется одинаковый набор чисел, ведь мы убрали цифру, принадлежащую обеим областям.
Возьмём теперь две строки и два столбца. Совокупный набор этих ячеек содержит по четыре раза набор чисел от 1 до 9.
Ячейки, отмеченные жёлтым, считаются дважды.
Ячейки, отмеченные жёлтым, считаются дважды.
И возьмём четыре блока 3×3, отмеченные красным цветом. В них тоже содержится по четыре раза набор чисел от 1 до 9.
Теперь наложим эти шаблоны друг на друга и удалим общие элементы.
В жёлтых клетках было по два элемента, поэтому удаляется только один.
Получившийся эквивалентный набор носит название "кольцо Фистомефеля".
Его особенность заключается в том, что набор чисел в красных и зелёных клетках совершенно одинаковый.
В жёлтых клетках было по два элемента, поэтому удаляется только один.
Получившийся эквивалентный набор носит название "кольцо Фистомефеля".
Его особенность заключается в том, что набор чисел в красных и зелёных клетках совершенно одинаковый.
Мы можем построить такое множество разными способами, взяв любые четыре блока 3×3 и пересечь их двумя строками и столбцами.
Вот пример другого множества на произвольной сетке судоку.
Можно убедиться, что красные и зелёные области содержат по две цифры 1, одной 5, три 9 и т.д.
Вот пример другого множества на произвольной сетке судоку.
Можно убедиться, что красные и зелёные области содержат по две цифры 1, одной 5, три 9 и т.д.
На практике это можно использовать следующим образом.
Допустим, вы заметили, что в какой-то части судоку много открытых цифр. В примере ниже они выделены жёлтым цветом.
Допустим, вы заметили, что в какой-то части судоку много открытых цифр. В примере ниже они выделены жёлтым цветом.
В этой области можно построить эквивалентные множества по принципу кольца Фистомефеля.
Далее мы знаем, что наборы чисел в красной и зелёной областях совпадают. Поэтому можно применять различные логические схемы, чтобы выяснить, где какие числа стоят.
Например, в зелёной области есть цифра 1, Значит, в красной области она тоже обязательно должна быть. Единственное место, где она может быть, это самая нижняя и левая ячейка.
Например, в зелёной области есть цифра 1, Значит, в красной области она тоже обязательно должна быть. Единственное место, где она может быть, это самая нижняя и левая ячейка.
Кольцо Фистомефеля — не единственный пример эквивалентных наборов в судоку.
Вот другие примеры таких множеств.
Вот другие примеры таких множеств.
МЕТОД ПРОБ И ОШИБОК
Этот метод обычно используется в крайнем случае, когда другие стратегии не приводят к решению.
Метод предполагает угадывание и заключается в том, что вам нужно выбрать ячейку с двумя кандидатами, выбрать одного из них и попытаться решить головоломку. Если получится, то удача на вашей стороне. Если нет, то нужно вернуться назад к исходной точке и выбрать другого кандидата.
Суть стратегии в том, что при возникновении противоречия можно исключить первоначального кандидата, сделав оставшегося единственно возможным решением для этой ячейки.
Однако, применяя данную стратегию, нужно быть очень внимательным, так как даже небольшой просчёт при снижении концентрации может сделать головоломку неразрешимой.
Метод предполагает угадывание и заключается в том, что вам нужно выбрать ячейку с двумя кандидатами, выбрать одного из них и попытаться решить головоломку. Если получится, то удача на вашей стороне. Если нет, то нужно вернуться назад к исходной точке и выбрать другого кандидата.
Суть стратегии в том, что при возникновении противоречия можно исключить первоначального кандидата, сделав оставшегося единственно возможным решением для этой ячейки.
Однако, применяя данную стратегию, нужно быть очень внимательным, так как даже небольшой просчёт при снижении концентрации может сделать головоломку неразрешимой.
Вы можете также попробовать разгадать онлайн-судоку прямо в окне браузера.
